Im Sommersemeter 2024 hält Marc Kegel die Vorlesung "Differentialtopologie".

Beschreibung:

In der Differentialtopologie werden glatte Mannigfaltigkeiten untersucht. In dieser Vorlesung werden wir Mannigfaltigkeiten studieren indem wir sie in einfache Stücke zerschneiden. Diese einfachen Stücke, sogenannte Henkel, sind (nach Glättung der Ecken) alle diffeomorph zu Bällen. Die gesamte Information über die ursprüngliche Mannigfaltigkeit ist also in den Verklebeabbildungen dieser einfachen Stücke kodiert. Am Anfang der Vorlesung werden wir eine Einführung in die Theorie der glatten Mannigfaltigkeiten und ihre Henkelzerlegungen geben und uns danach auf niedrige Dimensionen einschränken.

Dies wird dann zum Begriff eines Heegaard-Diagramms einer 3-Mannigfaltigkeit führen, ein 2-dimensionales Diagramm, in dem die gesamte Information der 3-Mannigfaltigkeit kodiert ist. Eine Dimension höher werden wir die gesamte Information einer glatten kompakten 4-Mannigfaltigkeit (oder ihres 3-dimensionalen Randes) in einem sogenannten Kirby-Diagramm darstellen. Als Kirby-Kalkül werden dann ganz allgemein die Modifikationen solcher Diagramme bezeichnet, welche den Diffeomorphietyp der entsprechenden 4-Mannigfaltigkeiten (oder ihres 3-dimensionalen Randes) nicht ändern. Mittels Kirby-Kalkül werden wir zum Beispiel zeigen, dass jede 3-Mannigfaltigkeit als Rand einer 4-Mannigfaltigkeit auftritt und exotische 4-Mannigfaltigkeiten konstruieren, dass heißt glatte 4-Mannigfaltigkeiten, die homöomorph aber nicht diffeomorph sind.

Zum Ende der Vorlesung werden wir unser Verständnis über Henkelzerlegungen benutzen um eine Version der Poincaré Vermutung in höheren Dimensionen zu beweisen, welche besagt, dass eine Mannigfaltigkeit mit der algebraischen Topologie einer Sphäre, schon eine Sphäre sein muss.